|
Trefwoorden |
Rekenen met transistoren Inleiding Sinds men in de westerse wereld
leerde rekenen op basis van het tientallig stelsel in het begin van het
tweede millennium, bleek dit voor velen een kunstje dat men nooit geheel
foutloos onder de knie kreeg. Al sinds het begin heeft men daarom gezocht
naar methoden om dit rekenwerk te vereenvoudigen, en liefst te automatiseren.
In de eerste tijd werd daarom veel met tabellen-(boeken) gewerkt, waarin
anderen het rekenwerk al voor hun rekening hadden genomen. Later dacht men
aan meer geautomatiseerde systemen en vanaf het begin van de 17e eeuw kennen
we de verschillende mechanische rekenmachines van o.a. Schickhard,
Leibnitz, Pascal. Deze machines werden steeds
verder verbeterd, in de 18e en 19e eeuw door o.a.
de Colmar, Babbage en Burroughs. In de 20e eeuw werd langzamerhand overgeschakeld op elektronische machines, waarbij een twee-deling ontstond tussen analoge en digitale wijzen van rekenen. Het is algemeen bekend in welke richting de digitale rekenwijze zich uiteindelijk heeft ontwikkeld, en ieder die dit leest op zijn PC plukt hier dagelijks de vruchten van. In de digitale rekenwijze wordt elk getal voorgesteld als een discrete eenheid. Met deze eenheden wordt vervolgens opgeteld en afgetrokken, waarbij vermenigvuldigen en delen werd uitgevoerd als een herhaalde optelling en aftrekking. Je ziet hierin eigenlijk een voortzetting van de stapjes van de tandwielen van de mechanische systemen en de relais posities in de elektromechanische systemen. Deze manier van rekenen staat in contrast tot de analoge rekenwijze, waarbij alle grootheden op een glijdende schaal worden uitgevoerd. Het rekenen gebeurt hier met continu variabele eenheden en ook de antwoorden volgen dit patroon. Voor een optelling van twee grootheden kan daarom worden volstaan met een enkel stroom of spanning circuit, waarbij de nauwkeurigheid alleen afhangt van de instel- en uitlees-resolutie. Vanaf de jaren '30 en tot nog ver in de tweede helft van de vorige eeuw werd vooral in academische kringen gewerkt aan en met analoge rekenmachines, waarbij men met relatief eenvoudige middelen naast optellen en aftrekken ook de mogelijkheid kreeg om te vermenigvuldigen, delen machtsverheffen en worteltrekken, en dat alles met een grotere precisie en snelheid dan mogelijk was met de toen bekende digitale machines. Ook de meer wiskundige bewerkingen van differentiëren en integreren was mogelijk en deze bewerkingen kwamen vooral goed van pas in militaire kringen , bv. bij het berekenen van banen van projectielen. De maatschappij werd in de loop van de tijd steeds complexer en daarmee nam ook de gevraagde nauwkeurigheid toe van de rekenmethoden. Hierbij bleek dat deze nauwkeurigheid naar believen kon worden opgevoerd met de digitale rekenwijze, door uitbreiding van het aantal rekeneenheden. Dat gaat echter minder gemakkelijk met analoge methoden, die al snel tegen de grenzen van de reken-'diepte' aanliep. Dat is mede de reden dat de analoge rekenmethode tegenwoordig wat naar de achtergrond is geraakt. In de radio-hobby kunnen analoge methodes ook nu nog hun diensten bewijzen en met succes worden ingezet waar een digitale oplossing tot onnodige complexiteit zou leiden en bovendien kennis van specifieke circuits en het programmeren hiervan. Het navolgende stukje gaat daarom vooral over het vermenigvuldigen, delen, en machtsverheffen met analoge circuits, ook al omdat dit met de komst van de transistor een hoge vlucht heeft genomen. Ook worteltrekken is mogelijk met de aangegeven methodes, maar zal nu even niet worden meegenomen. De kracht van het analoge vermenigvuldigen en delen ligt vooral in het werken met logaritmen. De aanzet tot het werken met deze logaritmen werd gegeven rond het jaar 1600 toen de Schotse landeigenaar en wiskundige, John Napier een methode had gevonden om een vermenigvuldiging terug te brengen tot een simpele optelling van gerelateerde, andere getallen, die hij vernoemde naar de samentrekking van de Griekse woorden voor rede: 'logos' en getal: 'arithmos' tot het Engels klinkende: 'logaritm'. De Engelsman Henry Briggs, die een bewonderaar was van Napier, heeft het systeem omgewerkt tot een logischer methode en berustend op het grondtal '10'. Deze methode gebruiken wij nu nog. Henry Briggs bedacht dat getallen, die je kunt schrijven als een macht van een ander getal, zich gemakkelijk laten vermenigvuldigen door het optellen van deze machten. Dat klinkt ingewikkelder dan het lijkt, zoals we zullen zien in het volgende voorbeeld. Wanneer we 100 willen vermenigvuldigen met 1000, kunnen we dit schrijven als 102 x 103 . De uitkomst hiervan kunnen gemakkelijk berekenen door de macht: 2, op te tellen bij de macht: 3, tot 2 + 3 = 5 De uitkomst is dan 100 x 1000 = 102 x 103 = 105 = 100.000. De vermenigvuldiging wordt hierbij teruggebracht tot een optelling van de machten, in dit geval van machten van tien, dat we weer het 'grondtal' van dit systeem noemen. Met de hele getallen uit het natuurlijke systeem, zoals 1, 2 , 3, enz. spreekt dit vanzelf, maar het wordt iets ingewikkelder wanneer we tussenliggende getallen zoeken. Briggs heeft deze tussenliggende waarden uitgerekend voor het grondtal '10'. De logaritme van het getal '2' wordt dan bv. gelijk aan 0,30103..., omdat 100,30103 juist gelijk is aan 2. Wanneer we liever met getallen vóór de komma werken, kunnen we deze waarde met tien vermenigvuldigen en bv. spreken over een decilog. De decilog van 2 is dan 3,0103. Nu heeft niemand misschien gehoord van een decilog, maar een deciBell is wel bekend en deze laatste is op dezelfde wijze gebaseerd op de logaritmische werkwijze. Door te werken met logaritmen wordt elke rekenkundige bewerking teruggebracht tot de eerstvolgende lagere bewerking. Zo verandert vermenigvuldigen in een simpele optelling en delen in een aftrekking van de logaritmen van de getallen. Machtsverheffen wordt vermenigvuldigen en worteltrekken wordt delen van de logaritmen, die daarna natuurlijk weer moeten worden omgezet in de oorspronkelijke getallen door het nemen van de anti-log. Misschien was dit een beetje lange inleiding en is de basis hiervan al lang bij velen bekend. Het is juist deze logaritmische werkwijze bij het rekenen met analoge, elektronische circuits, die tot volle bloei kwam met de komst van de transistor. Dat deze zich zo goed hiervoor leent, blijkt wanneer we de fundamentele overdrachtformule bekijken die voor alle transistoren geldig is. Deze (vereenvoudigde) Ebers-Moll formule luidt: Ic = Io eqV/kT Hierbij is 'Io' een stroom die erg klein is, en afhangt van de opbouw van de transistor. De waarde 'q' vertegenwoordigt de lading van het elektron en de factor 'k' is de constante van Boltzmann. De factoren 'q' en 'k' liggen vast en vormen dus een constante factor in de formule. De grootheid 'T' is de absolute temperatuur, zodat we meteen herkennen dat transistor-eigenschappen principieel samenhangen met de temperatuur. Met een dimensie-analyse vinden we verder dat het product kT/q uitkomt op een spanning, bij kamertemperatuur ongeveer 25 mV. De e-macht gaat dan over in eV/25mV, en dat is een spanning gedeeld door een spanning, wat een dimensieloos getal oplevert, waarmee Ic dus juist de vermenigvuldigde stroom Io wordt. Wanneer we afzien van de constante factoren in de basis overdrachtformule van de transistor dan zien we dat de collectorstroom afhankelijk is van eVbe. Hierbij staat de basisspanning in een machtpositie, precies zoals we dat zagen bij de Briggse logaritmen. Wanneer we daarom de stroom door een transistor variëren, zal de basisspanning hiervan op een logaritmische manier veranderen. Omgekeerd zal de stroom door de transistor in een machtverhouding toenemen, bij toenemende basisspanning. We hebben daarmee in een transistor een natuurlijke omzetter met een logaritmisch karakter, die ook geschikt is voor de omgekeerde bewerking. Vanwege het principiële karakter van deze overdrachtfunctie kan de transistor over een groot bereik van stromen worden ingezet, waarbij dit logaritmische verband nauwkeurig gehandhaafd blijft. Een schakeling voor het omzetten van een spanning naar een andere spanning, die daarmee in logaritmisch verband staat, vinden we gestileerd in bijgaande schakeling.
Van een operationele versterker is bekend dat de versterking van de ingang (tussen de + en - aansluiting) naar de uitgang heel hoog is. Wanneer we daarom een spanning aanbieden bij Vin, zal de versterker deze zodanig versterken, dat er een even grote stroom door de transistor zal lopen als in de weerstand. Er kan immers door deze stromen geen spanningsverschil gaan ontstaan aan de ingang, omdat de versterker ook een klein verschil onmiddellijk zal uitvergroten en compenseren. Om deze stroom te laten lopen, moet de uitgang een zodanig negatieve waarde aannemen dat de transistor in het geleidingsgebied komt en er een collectorstroom gaat lopen die juist gelijk is aan de stroom door de weerstand. We zagen al eerder dat er een logaritmisch verband is tussen deze collectorstroom en de basisspanning. De schakeling in figuur 1 geeft daarom aan de uitgang een spanning die evenredig is met de logaritme van de spanning aan de ingang. Wanneer we met een tweede schakeling de logaritme bepalen van een andere spanning, kunnen we deze spanningen vervolgens bij elkaar optellen, waarmee we dus effectief de veroorzakers van deze spanningen hebben vermenigvuldigd. Een schakeling die dit in principe zo uitvoert vinden we hier onder.
Beide schakeling geven aan de uitgang een spanning die evenredig is met de logaritme van de ingangspanning. Door de uitgang van de bovenste logaritmeschakeling aan te sluiten op de basis van de onderste, staan de basis-emitter spanningen met elkaar in serie t.o.v. aarde. De spanningen worden op die manier bij elkaar opgeteld, waarmee dus effectief de initiële veroorzakers van deze spanningen (V1 en V2) met elkaar worden vermenigvuldigd. De spanning 'Vuit' is echter nog steeds een logaritme, die we kunnen omzetten naar een getal op het ingangsniveau met een anti-log schakeling. Zoals we eerder zagen zal de collectorstroom exponentieel veranderen bij een verandering van de basis spanning. Zo'n exponentiële verandering is precies wat we zoeken voor de uitvoering van de anti-log functie, zodat een schakeling die dit uitvoert er, alweer gestileerd, als volgt uit ziet.
In de basis vermenigvuldiger van figuur 3 wordt de som van de basis spanningen (logaritmen van de ingangspanningen) aangebracht tussen de basis en de emitter van een volgende transistor (rechts). Een verandering van de spanning op deze laatste emitter brengt een exponentiële stroomverandering te weeg in de collector van deze laatste transistor, die weer wordt gecompenseerd door een even grote stroom in tegengestelde richting door de laatste operationele versterker. De stroom vanuit deze uitgang veroorzaakt weer een spanning over de terugkoppelweerstand, waarmee we aan de uitgang dus weer een spanning hebben gekregen die evenredig is met de anti-logaritme van de spanning op de emitter van de ingangstransistor. Aan de uitgang van de schakeling van figuur 3 vinden we dus een spanning die het product is van de twee ingangspanningen. Om de schakeling van figuur 3 ook in de praktijk te laten werken, moeten we nog iets meer doen. Wanneer we beter kijken naar het circuit, dan zien we dat er op de uitgang van de operationele versterker links-onder, de som van twee basisspanning staat t.o.v. aarde, die direct zijn aangesloten op de emitter van de enkelvoudige laatste transistor, waarvan de basis ook weer aan aarde ligt. In deze laatste transistor zou daardoor zo'n grote collectorstroom gaan lopen, dat deze zeer waarschijnlijk defect raakt. Om de schakeling meer 'in evenwicht' te krijgen moet er daarom in het basis circuit van de laatste transistor nog een basis-emitter overgang worden geplaatst. Verder zien we in een elk opamp circuit van V1 en V2 een transistor in de tegenkoppeling, waardoor een grotere of kleinere stroom kan lopen. De schijnbare 'weerstand' in dit terugkoppelcircuit kan daarom variëren over een groot bereik. De versterkingsfactor van zo'n trap wordt gegeven als de verhouding van deze terugkoppelweerstand gedeeld door de ingangsweerstand. De versterking varieert daarmee van (veel) groter dan 1 tot (veel) kleiner. Vanaf de fabriek worden operationele versterkers zo geleverd, dat deze een stabiele versterking vertonen over een groot gebied van versterkingen, tot aan een factor 1 x. Daar beneden is de versterker niet meer stabiel en zullen we zelf maatregelen moeten nemen. Wanneer we al deze en meer overwegingen in aanmerking nemen, zal een praktisch rekencircuit er als volgt uit kunnen zien.
In figuur 10 is het 'probleem' van de hoge basisspanning opgelost met een extra transistor in het circuit rechts boven. Ook deze is weer opgenomen in een logaritmische versterkertrap voor de ingangsspanning V3. Deze spanning wordt nu in serie geschakeld met de anti-log versterker, waarmee we deze spanningen effectief van elkaar af trekken. Daarmee vervult deze derde ingangspanning dus de functie van 'deler'. Aan de uitgang van de gehele schakeling vinden we daarom een spanning die het product is van de twee eerdere spanning, gedeeld door de derde. Deze schakeling kan met de aangegeven componenten ook werkelijk zo functioneren en vertoont een voortreffelijke nauwkeurigheid over een gebied van een factor 100 en meer. Denk er aan dat elke ingang alleen positieve spanningen accepteert. Bij een negatieve ingangspanning zou de uitgang van een opamp immers positief worden, waardoor de transistoren buiten geleiding worden gestuurd. Bij een abusievelijk negatieve ingangspanning zou de uitgang zo ver positief kunnen worden, dat de maximale basis-emitter spanning in omgekeerde richting zou kunnen worden overschreden. Om die reden zijn hiertegen beschermingsdiodes aangebracht. In de wiskunde is delen door het getal '0' niet toegestaan, omdat dit een onbepaalde uitkomst geeft. In de schakeling uit zich deze 'onbepaaldheid' door een excursie van de uitgang naar de positieve of negatieve voedingspanning, afhankelijk van toevallige omstandigheden (bv. off-set). Hier dient rekening mee te worden gehouden. Aan de schakeling van figuur 4 zijn een groot aantal metingen verricht, waarvan er hier een paar belangrijke zijn weergegeven. Als eerste een grafiek die het verband aangeeft van het verloop van de uitgangsspanning bij variërende ingangsspanning, waarbij de tweede ingang steeds op de halve waarde van de eerste werd gehouden. De ingang voor het deeltal kreeg hierbij een vaste waarde ('1'). In de grafiek is tevens de curve aangegeven voor de nauwkeurigheid, waarbij de gemeten uitgangspanning werd vergeleken met de berekende waarde.
Uit de grafiek blijkt duidelijk het kwadratische verloop van de uitgangsspanning bij lineair verlopende ingangspanning (blauwe lijn). De rode lijn geeft de nauwkeurigheid van de schakeling. Vanaf een uitgangspanning kleiner dan 10 mV. tot meer dan 12 V. blijft de onnauwkeurigheid kleiner dan 2% van de momentane waarde. Dit is een bereik van meer dan 60 dB! Denk er aan dat de ingangspanning dan over het veel kleinere bereik zal variëren van juist onder 100 mV. tot iets meer dan 4 V. (iets meer dan 30 dB), door het kwadratische verloop van de uitkomst van deze vermenigvuldiging. De maximale uitgangsspanning wordt hier overigens meer bepaald door het vastlopen van de schakeling tegen de voedingspanning dan door onnauwkeurigheden in de vermenigvuldiging. De ondergrens van de nauwkeurigheid van juist beneden 10 mV. aan de uitgang wordt bepaald door de onderlinge verschillen van de transistoren en van de off-set spanning en stroom van de operationele versterkers (hier de viervoudige opamp: NE5514). Ter beperking van de transistorverschillen werden deze uitgezocht uit een groter aantal, door de collector met de basis te verbinden en hierdoor vervolgens een stroom van ca 0,5 mA te laten lopen (10 V. voeding in serie met een weerstand van 18k). De basisspanning werd vervolgens gemeten met een nauwkeurige, digitale voltmeter. De transistoren werden uitgezocht op gelijke basisspanningen (verschil maximaal enkele mV.), waarbij de absolute waarde hiervan minder belangrijk is. De meest kritische paren voor ongelijkheid zijn in figuur 4 aangegeven met een gestippelde rechthoek. Bij gebruik van deze methode kan verdere afregeling van de schakeling achterwege blijven. Voor deze schakeling maakt het niet uit welke (NPN) transistoren worden toegepast; alle transistoren voldoen aan de genoemde overdrachtfunctie, zodat voor het goedkoopste type kan worden gekozen, mits de stroomversterkingsfactor niet al te laag is (Hfe > 50 bij 1 mA) en er geen lekstroom loopt tussen collector en emitter. De meeste tegenwoordige transistoren voldoen hieraan. Voor het beste resultaat moeten alle transistoren van hetzelfde type zijn. Denk er verder aan dat in de transistor overdrachtfunctie een term voor de absolute temperatuur staat. Door de temperatuur verandering in de log-schakeling te compenseren met een even grote verandering in de anti-log schakeling wordt deze temperatuur-afhankelijkheid uit de formule gewerkt en blijft alleen de basis rekenbewerking over. Om dit te bereiken moeten de transistoren allemaal op de zelfde temperatuur blijven, en dat is voldoende gewaarborgd wanneer deze alle vier in of op hetzelfde blokje metaal zijn ondergebracht. De absolute temperatuur mag dan variëren maar er treden geen onderlinge temperatuurverschillen meer op, zodat de nauwkeurigheid van de schakeling gehandhaafd blijft.
Een volgende grafiek geeft het verband tussen ingang- en uitgangspanning bij gebruik van de schakeling uit figuur 4 als delerschakeling. De tweede vermenigvuldiger ingang werd hierbij op een vaste waarde gehouden ('1').
De ingang werd bij deze meting met een weerstandsnetwerk op de halve spanning van V3 gehouden. De deler zou daarom ook steeds de waarde van 0,5 (500 mV.) moeten aangeven. De gemeten uitgangspanning ligt echter rond 472 mV. hetgeen meer de nauwkeurigheid van de delerweerstand weerspiegelt (10% weerstanden) dan de nauwkeurigheid van de schakeling. De grafiek geeft niet meer dan het laagste deel van het spanningsbereik, omdat hier de grootste afwijkingen verwacht werden; de nauwkeurige uitgangspanning loopt echter door totdat de opamp vast loopt tegen de voedingspanning (13,5 V.). Wanneer we kijken naar de nauwkeurigheid van de schakeling (let op de uitvergrote afwijkingenschaal t.o.v. de vorige grafiek), dan zien we dat deze binnen een marge van 1% blijft vanaf een ingangsspanning kleiner dan 50 mV. Het dynamisch bereik van de schakeling binnen deze nauwkeurigheidsmarge omvat aldus een ruimte van ca 50 dB. Ook hier dus weer een verrassend groot gebied bij gebruik van 'standaard' componenten. Het is interessant om te zien waar we dit soort nauwkeurige, maar eenvoudige rekencircuits kunnen toepassen? Denk er bv. eens aan dat het opgenomen of het geleverde vermogen van een schakeling gelijk is aan het product van de stroom en de spanning: P = V x I. Hier moet dus worden vermenigvuldigd. Verder is de aanwijzing van een S-meter evenredig met de logaritme van het ingangsignaal, reden waarom deze schaal uitgevoerd is (of zou moeten zijn) in gelijke stapjes van 6 dB voor iedere verdubbeling van het signaal. Ook is de reflectiefactor in het antennecircuit gelijk aan de gereflecteerde spanning gedeeld door de voorwaartse spanning en hierop is ook de uitlezing in 'SWR' gebaseerd. Binnen de radio-hobby zijn nog veel meer plaatsen aan te wijzen voor zo'n analoge vermenigvuldiging en/of deling, of combinatie daarvan. Denk er verder aan, dat wanneer een meter het afgegeven vermogen aanwijst van een zendereindtrap, dit vrijwel steeds gebaseerd is op een spanningsmeting aan de antenne uitgang. Een juiste uitlezing van dit vermogen vraagt dus een Watt-meter schaal met een kwadratisch verloop omdat het vermogen nu eenmaal schaalt met het kwadraat van deze antenne spanning. Dat is ook de reden waarom veel Watt-meters met zo'n sterk verlopende schaal zijn uitgerust. Met een echte vermenigvuldiger kun je de twee ingangen parallel schakelen, waarbij de uitgangspanning zich gedraagt als het kwadraat van de ingangspanning. Met zo'n schakeling kun je dan iedere lineaire meter toepassen, die nauwkeurig het vermogen zal aangeven bij een spanningsmeting op de uitgang van de zender, zoals bv. wordt gemeten m.b.v. een directional coupler. Zo'n kwadratuur schakeling hoeft zelfs met een beetje slimme opbouw uit niet meer dan een enkele opamp te bestaan, samen met een paar transitoren voor het uitvoeren van de log, anti-log functie. Een voorbeeld van deze laatste toepassing vinden we in bijgaande schakeling.
|
