Het 50 Ω verhaal

Naar een idee van ON7YD

Transmissielijnen zijn er in vele variaties en uitvoeringen. Een veel gebruikte uitvoering is een coaxiaal type met een impedantie van 50 Ohm en men kan zich afvragen waarom juist dit type zo veelvuldig wordt toegepast?

Het blijkt dan dat de waarde van 50 Ω is niet zomaar toevallig werd gekozen, maar dat de verliezen bij deze waarde 'toevallig' kleiner zijn dan bij een andere impedantie. Het navolgende stukje zal dit toelichten.

Een coaxiale transmissielijn is opgebouwd volgens bijgaand plaatje, met een binnengeleider, een diëlectricum, een buitengeleider en een beschermende mantel. Overigens wordt ook de buitengeleider vaak de 'mantel' genoemd.

Een stuk draad kunnen we beschouwen als een zelf-inductie en twee geleiders met daar tussenin een diëlectricum herkennen we als een condensator. Zowel de spoel als de condensator zijn niet ideaal en vertonen dan ook verliezen waarin energie wordt gedissipeerd. In eerste benadering kunnen we een coaxiale transmissielijn daarom beschouwen als een opeenvolging van spoelen en condensatoren en verliesweerstanden daarmee in serie.

Als de verliesweerstanden klein zijn, kunnen we de karakteristieke impedantie van de transmissielijn schrijven als

R₀ = √L/C

Deze L en C zijn verliesvrij. Ontbreekt de verliesweerstand totaal dan spreken we van een ideale transmissielijn waarin signalen verliesvrij worden getransporteerd, hoe lang deze transmissielijn ook is. Denk er aan dat door de LC samenstelling van de lijn de signalen wel zullen worden vertraagd, maar dat valt even buiten dit verhaaltje.

De spoelen (L) waaruit we de transmissielijn opgebouwd kunnen denken, zijn evenredig met de diameters van de binnen (d) en buitengeleider (D) en de waarde van de condensatoren (C) wordt mede bepaald door de dielectrische constante (ε_r) van het materiaal tussen deze geleiders. Vertalen we dit naar een 'mechanische' beschrijving van een coaxiale transmissielijn, dan ziet dit er in formulevorm als volgt uit:

R₀ = 60 * ln (D/d) * 1/√ε_r

We zagen al dat er in een coaxiale transmissielijn verliezen optreden, die o.a. te maken hebben met de weerstand van het koper materiaal, maar ook met de 'hoeveelheid koper' die aan het transport deelneemt. Hoe hoger de frequentie, hoe minder de elektrische stromen in het materiaal indringen en dus hoe dunner het laagje koper dat voor de geleiding zorgt. Dat alles maakt dat de verliezen, die we graag zo klein mogelijk houden, niet meer zijn te verwaarlozen. Om bij kleine indringdiepte toch een zo klein mogelijke Ohmse weerstand te bereiken kunnen we proberen het oppervlak van de geleiders zo groot mogelijk te maken. Dit oppervlak is evenredig met de diameter van de geleiders, zodat we kunnen schrijven:

R ~ 1/d + 1/D, of ook: R ~ (D/d +1) * 1/D

We zien nu dat zowel de karakteristieke impedantie R₀ als de verliesweerstand R een evenredigheidrelatie hebben met de verhouding van de diameters van de binnen- en buiten-geleider van de coaxiale transmissielijn. We willen de kabelverliezen graag zo klein mogelijk maken t.o.v. de karakteristieke impedantie en kunnen de verhouding van deze twee grootheden zien als het karakteristieke rendement (ή) van de kabel, dat we graag zo hoog mogelijk zien, in formulevorm:

ή = R₀ / R

Omdat R₀ en R een (verschillende) evenredigheidrelatie hebben met de verhouding van D en d, kunnen we onderzoeken of er misschien een optimale verhouding van deze geleider-diameters te vinden is, die het karakteristieke rendement van de kabel zo hoog mogelijk maakt. We herschrijven de formules voor R₀ en R, zodat alleen de evenredigheidsrelatie met deze diameterverhouding over blijft, dus:

ή ~ ln (D/d) / (D/d +1)

Als we deze formule uitrekenen voor verschillende verhoudingen van D/d, ontstaat de volgende grafiek:

In de grafiek zien we dat er inderdaad een optimum optreedt voor het relatieve rendement, en wel bij de verhouding van de diameters D/d = 3,59. Brengen we deze verhouding in de formule voor de karakteristieke impedantie R₀, dan vinden we:

R₀ = 60 * ln (D/d) = 60 * ln (3,59) = 76,7 Ohm.

Inderdaad worden dergelijke kabels (met 'lucht' als diëlectricum!) wel geproduceerd voor grote vermogens en / of andere gespecialiseerde toepassingen. Hiermee is tevens duidelijk waar de impedantie van 75 Ohm vandaan komt, die veel in de TV-omgeving wordt toegepast.

Veel coaxiale transmissielijnen hebben een vast diëlectricum omdat hiermee de vormvastheid van de kabel beter gegarandeerd kan worden. Nemen we als diëlectricum het relatief verliesarme polyethyleen (ε_r = 2,25) dan komen we uit op een impedantie van:

R₀ = 60 * ln (D/d) * 1/√ε_r = 60 * ln (3,6) * 1/√2,25 = 51,2 Ω

Coaxiale kabels met deze impedantie worden ook vervaardigd (o.a. RG9: 51 Ohm en RG8: 52 Ohm), maar we kunnen dit getal ook gemakshalve afronden naar 50 Ω.

In de grafiek is tevens de karakteristieke impedantie weergegeven van een coaxiale kabel met een diëlectricum van 2,25 bij verschillende waarden van de verhouding D/d. We zien hierin o.a. dat de diameter verhouding mag variëren tussen 3 en 4,25 om binnen 2 % van dit maximum 'relatieve rendement' te blijven. De karakteristieke impedantie van zo'n kabel varieert dan tussen 44 Ω en 57,5 Ω.

Op overeenkomstige wijze kan worden aangetoond dat voor het overbrengen van het maximale vermogen, een diameter verhouding D/d van 1,65 optimaal is. Dit geeft (ook weer op 'lucht') een karakteristieke impedantie van ongeveer 30 Ohm.

Je zou dus ook kunnen zeggen dat de industriële keuze voor 50 Ohm als gestandaardiseerde waarde een compromis is tussen minimale verliezen en maximaal over te brengen vermogen.

Bob J. van Donselaar, on9cvd@veron.nl